Fisica II (15/02/11)

Presión y sus tipos

La presión (P) es una cantidad escalar, es decir, en cualquier punto tiene magnitud, pero no dirección. El concepto de presión tiene en cuenta la fuerza, así como el área de sección trasversal sobre la que actúa dicha fuerza. La presión P es la magnitud de la fuerza F que actúa perpendicularmente a una superficie, dividida entre el área A de sección trasversal donde la fuerza actúa.

                                 P= F/ A                 Ecuación 3

En el SI la presión se mide en N/m², lo que equivale a un Pascal (Pa). En el Sistema Inglés, la unidad de medida de la presión son las lb/in², o Psi (Pound per Square Inch).

Una persona no podría balancear su peso en la punta de un clavo ya que penetraría su piel. Sin embargo, todos conocemos que es posible acostarse en una cama de clavos debido a que, como lo muestra la ecuación 3, la fuerza F representa el peso de la persona, mientras que el área A es el área de la punta del clavo. Debido a que esta área es muy pequeña, el clavo ejerce una gran presión sobre la persona. Sin embargo, al aumentar el área de contacto y poner muchos clavos, la fuerza se distribuye de forma proporcional, por lo tanto la presión en cada uno de los clavos será muy pequeña.

Un fluido en reposo no produce una fuerza paralela a la superficie que lo contiene ya que en caso de hacerlo fluiría y dejaría de ser estático, debido a que dicha superficie aplicará una fuerza de reacción al fluido, como lo menciona la tercera ley de Newton. De lo contrario, un fluido en reposo ejerce una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente que lo contiene.

La fuerza que ejerce un fluido en reposo sobre una superficie es siempre perpendicular a esa superficie debido a que un fluido no posee rigidez. Por lo tanto, un fluido en reposo dentro de un recipiente se encuentra en equilibrio estático bajo las fuerzas perpendiculares de compresión que ejercen las paredes.

Todas las personas nos encontramos bajo el efecto de la atmósfera terrestre, la cual es un fluido que empuja el cuerpo hacia abajo. Este aire que forma la atmósfera es lo suficientemente grande para generar una presión 1.013 x 105 Pa o 14.70 Psi, ambas medidas a nivel del mar. A este valor de la presión se le denomina presión atmosférica y algunos autores le llaman simplemente atmósfera (atm), y resulta ser un valor de suma importancia en el cálculo de los diferentes tipos de presiones que se abordarán en esta unidad. Por lo tanto el valor de esta presión depende de la altura a la que se mida; en este sentido, la presión atmosférica tiende a variar si se mide en una playa o en la cima de una montaña.

Una de las atracciones de la Feria de la ciencia es una cama de clavos en la cual las personas se pueden acostar. Cada clavo tiene una punta con un radio de 1 mm. Si existieran 4 clavos por centímetro cuadrado y la piel de una persona ocupa 0.64 metros cuadrados de forma distribuida en la cama, determina la presión que soporta cada clavo. Considera que la persona tiene un peso de 75 kg.

Solución:

Debido a que el cuerpo se encuentra en equilibrio, la sumatoria de todas las fuerzas en Y debe ser igual a cero. Debemos calcular la magnitud de la fuerza que soportan todos los clavos para el área mencionada, lo que nos permitirá posteriormente calcular la presión en cada uno de ellos.

ΣF_y = 0

                      w = mg = (75 kg)( 9.81 m/s²)= 735.75N

Si consideramos que existen 4 clavos por cm², lo más conveniente es convertir el área para manejar las mismas unidades, por lo tanto 0.64 m² = 6400 cm², que al ser multiplicada por 4, nos muestra que 25 600 clavos soportan a la persona.

Para calcular la fuerza en cada clavo, dividimos el peso de la persona entre el número total de clavos, lo que nos da un valor de 0.0287 N para cada clavo.

El área de cada uno de los clavos, a partir de su radio, se determina de la siguiente manera:

                 A_clavo =∏ r² = ∏(1x 10^-3 m )² =3.14x10^-6 m²

A partir de la ecuación 3, podemos determinar la presión en cada uno de los clavos:

             P = F /A = = 0.0287 N /3.14 x 10^-6 m² = 9.14 x 10³ Pa

Si observas, el resultado anterior refleja que se aplican aproximadamente

25 atm de presión al penetrar la piel.

Resolver los siguientes Problemas:

1.-  Sobre un líquido encerrado en un recipiente se aplica una fuerza de 60N mediante un pistón que tiene un área de 0.01m². ¿Cual es el valor de la presión?

2.- Calcular la fuerza que debe aplicarse sobre un área de 0.3m² para que exista una presión de 420 N/m².

Matematicas IV (15/02/11)

1.2 CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES.

1.2.1 TIPOS DE FUNCIONES

Para poder estudiar y entender las funciones, existen tres criterios de clasificación: según la de su forma analítica, según el tipo de expresión que aparece en su forma analítica y según la correspondencia entre  sus conjuntos.

1. Según la presentación de su forma analítica

Según este criterio se clasifican en explícitas e implícitas. La función es explícita cuando se presenta despejada la variable dependiente.

La función es implícita cuando en la ecuación que la representa aparecen mezcladas las variables dependiente e independiente.

Expresión Clasificación forma analítica

          y = 9x + 8                                      Función explícita

          y = 4x³ + x² -2                               Función explícita

          x² + 2xy + y² = 5xy²                       Función implícita

          4x – y + 2 = 0                                Función implícita

Para algunos casos es fácil pasar de una forma a otra. Por ejemplo, en su forma implícita, y+ 2x = 5 al pasar a su forma explícita quedaría: y = 5 – 2x, haciendo

 y= g(x), g(x) = 5 – 2x.

La forma analítica que presente una función depende de la naturaleza del problema.

Problemas de Matemáticas IV

Determinar que función es explicita y cual implícita:

1.- x³-3x²+5y=34-23x²

2.- x²+4y=4x

3.- 3x-4=5y-3x²

4.- 9x⁵-23x³=56y-34

Convertir las siguientes funciones implícitas a explicitas:

1.- 4x – y + 2 = 0

2.- 4x³-4y²-7x-9=0

3.- 9y-3x³=45-2x

4.- ax²-bx-cy²= dx+ex²                            

Matematicas II (15/02/11)

Ángulos formados por dos rectas paralelas

Alternos internos:

c y e, d y f

Los ángulos alternos in­ternos son iguales

Alternos externos:

a y g, b y h

Los ángulos alternos ex­ternos son iguales

Colaterales:

a y h, b y g, c y f, d y e

Los ángulos adyacentes, entre paralelas, son suplementarios.

Adyacentes:

a y b, a y d, b y c, c y d



Los ángulos colaterales, entre paralelas, son su­plementarios.

En cada una de las siguientes figuras, calcula los ángulos indicados.

a) Puesto que los ángulos señalados son colaterales, son suplementarios, es decir:

 a + 75 = 180º, de donde, despejando:

 a = 105º                              

b) Los ángulos indicados son alternos externos, por lo tanto, son iguales; es decir:

3x+35 º = 53 º

        3x = 53 º - 35 º                  

        3x = 18 º

X= 6 º                                    

Matemáticas II (14/02/11)

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante o transversal.
Si observamos las vías de un ferrocarril, tenemos la impresión de que los rieles nunca se cortan, es decir, éstos ilustran la idea de paralelismo.

“Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común, es decir, nunca se cortan”.

Una característica de las líneas paralelas es que siempre equidistan, es decir, la distancia entre ellas es siempre la misma. La distancia entre dos rectas paralelas es la longitud de cualquier segmento per­pendicular entre ambas.

Si tenemos dos rectas, ya sean concurrentes o pa­ralelas, decimos que una tercera es secante o trans­versal a ellas si las corta simultáneamente en puntos distintos a cada una de ellas.

Cuando trazamos dos paralelas y las cortamos por una transversal, forma­mos una serie de ángulos cuyas propiedades se emplearán más adelante.

Si trazamos dos líneas paralelas y las cortamos por una secante o transver­sal, formamos una serie de ángulos con características que veremos a con­tinuación.

Los ángulos a, b, g y h están fuera de las paralelas, por lo tanto, se llaman externos. Los ángulos c, d, e, f están entre las paralelas, por lo que son ángulos in­ternos. Los que están sobre las paralelas o bajo las paralelas y del mismo lado de la transversal (b y f, a y e, c y g y d y h); es decir, los que coinciden al colo­carse una recta sobre la otra (b y f, a y e, c y g y d y h), se llaman correspondientes. Los que están dentro de las paralelas y del mismo lado de la transversal, se llaman colaterales. Lo mismo ocurre si están fuera de las paralelas y del mismo lado de la transversal. Si están dentro de las paralelas (uno abajo y otro sobre), pero de lados opues­tos de la transversal, se llama alternos internos. Si están fuera de las paralelas (uno sobre y el otro bajo), pero de lados opuestos de la transversal, se llaman alternos externos. Los que comparten un lado y el mismo vértice, se les cono­ce como adyacentes.



Ángulos formados por dos rectas paralelas

Externos:

a y b, g y h, a y h, b y g

Las parejas de ángulos externos son suplemen­tarios.



Internos:

c y d, e y f, c y f, d y e

Los ángulos internos son suplementarios.



Correspondientes:

a y e, b y f

c y g, d y h

Los ángulos correspon­dientes son iguales.

Opuestos por el vértice:

a y c, b y d , e y g, f y h

Los ángulos opuestos por el vér­tice son iguales. 

 

Problemas de Matematicas II (viernes 11/02/11)

Resolver correctamente los siguientes ejercicios, para encontrar el valor de x:

a)

 b)

c)

1.1.2. Diversas formas de representación de una función(14/02/11)

Matematicas IV
A lo largo de cursos anteriores habrás estudiado funciones sin tener la certeza o el conocimiento preciso de que lo son. Por eso es importante que una función se pueda representar de diversas maneras: sagital, gráfica y analítica, tabular.

Sagital: En ésta representación, se hace uso de conjuntos en los cuales se muestra claramente la relación entre los elementos del dominio y codominio.

El dominio es el conjunto D={3, 6, 9, 12, 15}, el codominio es el conjunto E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, el rango={1, 2, 3, 4, 5} y la regla de correspondencia “el triple de”.

Gráfica: En ella, se hace uso de pares ordenados de la forma (x, y) en el plano cartesiano, donde x es el argumento y y es la imagen bajo la función.

La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y = f(x) para x en el dominio de f.

Es importante observar que hay un único f(a) para cada a del dominio, y sólo hay un punto de la gráfica que tiene abscisa a.

De aquí se concluye que toda recta vertical corta a la gráfica de una función en uno y sólo un punto.

Analítica: Es la representación de una función donde se relaciona un par de variables por medio de una expresión algebraica:

y = 4x                      f (x) =  5/x                          g(t) = 5t²

La relación entre los elementos del dominio y el contradominio queda incluida en el conjunto de números reales que satisfagan la ecuación.

Dominio de la función dada su forma analítica

El dominio y codominio de una función en su forma analítica será todo número real, excluyendo aquellos que no indiquen relaciones con números reales. Por ejemplo:

• Raíces pares con radicando negativo ( )

• Raíces del denominador de una función, donde éste es cero (3/0)

Problemas de Matematicas IV (14/02/11)

Encontrar el dominio de las siguientes funciones.

f(x)= 1-x²/x³+24

f(x)=2x²-1/x³-3x²-2

f(x)=x²-6/x²-14

Problemas de Fisica II (viernes 11/02/11)

Resolver los siguientes problemas:

1.- ¿Que volumen ocupan 300g de mercurio? La densidad del mercurio es 13 600kg/m³.

2.- Un cubo solido de aluminio mide 2.00cm en cada borde. La densidad para el aluminio es de 2 700kg/m³. Encuéntrese la masa del cubo.

3.-  Un proceso de chapeado electrolítico de estaño da un recubrimiento de estaño con un espesor de 7.5x10⁻⁵. ¿Cuál será el área de la superficie que puede recubrirse por este método, si se usa un kilogramo? La densidad del estaño es 7.5g/cm³.

4.-¿ Cual es la masa de un litro de aceite de semilla de algodón que tiene una densidad de 926kg/m³? ¿Cuánto pesa?