Unidad III. Resuelve problemas de semejanza de triángulos y Teorema de Pitágoras.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Criterios para determinar la semejanza

Como recordarás, en la sesión anterior se hizo la pregunta: ¿si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales, son congruentes? Como ha­brás observado, la respuesta es no, sólo son semejantes.

podemos establecer que:

“Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspon­dientes iguales.”

Una característica de los triángulos se­mejantes es que sus lados homólogos son proporcionales, esta proporción se llama razón de semejanza. En un contex­to más amplio, se conoce como escala. Así, en nuestra actividad los triángu­los ABC y BDF son semejantes, ya que los ángulos ABC y DBF son iguales por ser opuestos por el vértice. Los ángulos BAC y CDE son iguales por ser ambos án­gulos rectos, pues la distancia más corta entre dos rectas paralelas es cualquier segmento perpendicular entre ambas. Por lo tanto, los ángulos ACB y BDE son iguales, ya que ambos son el complemento del mismo ángulo agudo.

Podemos, entonces, establecer la razón de semejanza al dividir los lados ho­mólogos:

AB/ED = AC/CD =BC/CE

AB/4m =50m/8m

AB= (50m)(4m)/8m = 200m²/m

AB=25m

La amplitud del río desbordado es de 25 m, por lo que el desbordamiento fue de 13 m.

Además de la definición de semejanza de triángulos y su característica de pro­porcionalidad, la actividad anterior nos permite establecer los siguientes cri­terios de semejanza:

1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos correspondien­tes iguales.

2. Dos triángulos son semejantes si sus tres lados homólogos son propor­cionales.

3. Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados homólogos son propor­cionales e igual el ángulo comprendido.

En particular, para triángulos rectángulos, tenemos:

4. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángu­los agudos correspondientes.

Resolvamos ahora algunos ejercicios relativos a la aplicación de la semejanza de triángulos.

1.   Hugo tiene una estatura de 1.60 m y, a cierta hora, proyecta una sombra de 2.22 m. En ese mismo instante, un árbol proyecta una sombra de 4.25 m. ¿Cuál es la altura del árbol?

Solución: Los triángulos ABC y DEF son semejantes, pues ambos son rectángulos con un ángulo agudo igual; entonces, al establecer las proporciones ade­cuadas tenemos:

AC/DF=CB/FE ; de donde:

H/1.6m = 4.25m/2.22m

H= (4.25m)(1.6m)/2.22m

H = 3.06m

2. Un pozo cónico tiene una profundidad de 12 m y un radio de 1.2 m. Calcula el volumen que contiene cuando el nivel del agua está a 5 m de

Solución: Los triángulos ABC y DBE son semejantes, pues am­bos son rectángulos con un ángulo agudo igual; entonces, al establecer las proporciones adecuadas tenemos: DE/AC=DB/AB

r/1.2m = 7m/12m

r=(7m)(1.2)/12m

r=0.7m

V=3.1416(0.7m)²(7m)

V=10.77m