SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Criterios para determinar la semejanza
Como recordarás, en la sesión anterior se hizo la pregunta: ¿si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales, son congruentes? Como habrás observado, la respuesta es no, sólo son semejantes.
podemos establecer que:
“Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales.”
Una característica de los triángulos semejantes es que sus lados homólogos son proporcionales, esta proporción se llama razón de semejanza. En un contexto más amplio, se conoce como escala. Así, en nuestra actividad los triángulos ABC y BDF son semejantes, ya que los ángulos ABC y DBF son iguales por ser opuestos por el vértice. Los ángulos BAC y CDE son iguales por ser ambos ángulos rectos, pues la distancia más corta entre dos rectas paralelas es cualquier segmento perpendicular entre ambas. Por lo tanto, los ángulos ACB y BDE son iguales, ya que ambos son el complemento del mismo ángulo agudo.
Podemos, entonces, establecer la razón de semejanza al dividir los lados homólogos:
AB/ED = AC/CD =BC/CE
AB/4m =50m/8m
AB= (50m)(4m)/8m = 200m²/m
AB=25m
La amplitud del río desbordado es de 25 m, por lo que el desbordamiento fue de 13 m.
Además de la definición de semejanza de triángulos y su característica de proporcionalidad, la actividad anterior nos permite establecer los siguientes criterios de semejanza:
1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos correspondientes iguales.
2. Dos triángulos son semejantes si sus tres lados homólogos son proporcionales.
3. Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados homólogos son proporcionales e igual el ángulo comprendido.
En particular, para triángulos rectángulos, tenemos:
4. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos agudos correspondientes.
Resolvamos ahora algunos ejercicios relativos a la aplicación de la semejanza de triángulos.
1. Hugo tiene una estatura de 1.60 m y, a cierta hora, proyecta una sombra de 2.22 m. En ese mismo instante, un árbol proyecta una sombra de 4.25 m. ¿Cuál es la altura del árbol?
Solución: Los triángulos ABC y DEF son semejantes, pues ambos son rectángulos con un ángulo agudo igual; entonces, al establecer las proporciones adecuadas tenemos:
AC/DF=CB/FE ; de donde:
H/1.6m = 4.25m/2.22m
H= (4.25m)(1.6m)/2.22m
H = 3.06m
2. Un pozo cónico tiene una profundidad de 12 m y un radio de 1.2 m. Calcula el volumen que contiene cuando el nivel del agua está a 5 m de
Solución: Los triángulos ABC y DBE son semejantes, pues ambos son rectángulos con un ángulo agudo igual; entonces, al establecer las proporciones adecuadas tenemos: DE/AC=DB/AB
r/1.2m = 7m/12m
r=(7m)(1.2)/12m
r=0.7m
V=3.1416(0.7m)²(7m)
V=10.77m
